복잡계와 주식 -3

복잡계라는 개념이 과학계에서 만들어진 거지만, 단어 자체도 그렇고, 시사하는 내용이 워낙 사람들의 상상력을 자극하기 때문에 많은 사람들이 복잡계라는 말을 차용하면서 잘못 알려지거나 오용되는 경우들이 생겨났습니다. 왜곡까지는 아니지만, 개념을 혼동하는 경우도 있고, 용어사용을 모호하게 하는 경우도 있구요.

그래서, 인터넷에서 쉽게 검색할 수 있는 복잡계와 관련된 자료들을 볼 때 혼동하기 쉬운 부분들을 몇가지 짚어보겠습니다.

1. 임계, 임계현상 ( critical phenomenon)

과학에서 임계현상이 의미하는 바는 위키백과를 들어가면 간결하게 잘 정의해놓고 있습니다.

“물리적인 계가 상전이하는 경계에서 큰 요동을 보이는 현상”

어렵게 생각할 필요는 없고, 상전이라는 말만 알면 됩니다. 물질이 존재하는 다양한 형태를 상(phase) 이라고 하는데, 쉽게 말해서 액체, 기체, 고체 이런 걸 상이라고 합니다. 상전이라는 건 액체가 기체가 되거나, 고체가 액체가 되는 그러한 변화의 과정을 말하는 거죠. 예를 들어서 1기압에 100도씨에서 물이 끓는 그 순간이 상전이인 겁니다. 문제는, 그렇게 상전이가 막 시작될랑말랑 하는 순간, 그 경계선에서는 “큰 요동”이 나타나더라는 겁니다.

그렇게 상전이의 경계에서 큰 요동이 나타나더라는 거 자체는 17세기 과학자들도 익히 알고 있는 사항입니다. 이걸 가지고 복잡계를 다루는 과학자들이 임계현상을 말하는 게 아닙니다. 우리가 실생활에서 가장 쉽게 보는 상전이현상인 물이 끓는 현상에서 보이는 요동도 복잡계와는 아무런 관련이 없는 규칙적이고 기하학적으로 완벽하게 같은 크기와 모양을 한 육각형들으로 구성된 벌집패턴의 요동을 보입니다.

그렇게 임계현상에서 보이는 요동은 완벽하게 규칙적이고 기하학적으로 질서정연한 모양을 보인다고 생각해 오다가, 항상 그렇지는 않다는 걸 발견해가면서 학자들의 호기심을 자극하기 시작한 겁니다. 그러다가 그러한 불규칙하고 무질서한 요동들 안에도 무언가 규칙성이 숨어있다는 걸 확인하고, 거기에는 놀랍게도 무질서해 보이는 요동을 보이는 임계현상 대부분에서 “보편적”인 원칙이 존재한다는 걸 확인하게 된거죠. 그것이 이전 글에서 설명했던 요동의 강도와 분포의 승수관계, 즉 멱함수법칙의 원리인 겁니다.

2. 평형상태, 비평형상태

자연계에서는 같은 상전이 과정에서도 조건을 어떻게 주느냐에 따라 전혀 다른 결과, 즉 질서정연한 요동(상전이가 일어나는 패턴)을 보이거나, 정반대로 불규칙하고 무질서한 요동을 보이는 경우가 있습니다. 소금을 포화상태까지 녹인 소금물을 차갑게 냉각시키면 거기에서 소금이 결정이 되어가는 상전이(용해된 상태 -> 소금결정)가 일어나는데, 온도를 얼마나 천천히 떨어뜨리느냐는 냉각의 속도에 따라 전혀 다른 결과가 나옵니다.
소금물을 아주 천천히 냉각시키게 되면, 소금결정은 정확히 정육면체 형태를 취합니다. 거기에다 거의 모든 결정들이 비슷한 크기를 가지게 되구요. 앞서 언급했던 멱함수분포가 아닌 종모양의 확률분포처럼 평균과 최빈값이 존재하고, 질서정연한 결과가 나오게 됩니다. 왜 이렇게 되느냐면, 매우 오랜 시간동안 소금결정이 형성되는 과정에서 소금 분자가 결정에 붙었다 떨어졌다 하는 평형상태를 유지하는 과정에서 결정의 “가장 효율적인” 위치에 붙은 소금분자들만 떨어져 나가지 않고 버틸수 있기 때문입니다.

즉, 평형상태가 오랜동안 지속되는 조건 하에서는 임계현상이 지속되어도 복잡계 특성(요동)을 보이는 결과는 나타나지 않습니다.

멱함수법칙의 특성을 보이는 요동은 비평형상태에서 주로 나타나는 겁니다.

실제로, 포화상태의 소금물을 매우 빠르게 냉각시키면, 정육면체의 규칙적이고 질서정연한 결정은 온데간데 없이 사라지고, 구조적으로는 괴상하고 불규칙하지만, 소금결정의 분포와 빈도 측면에서는 규칙성을 보이는 전형적인 멱함수 법칙을 반영하는 형태가 만들어집니다.

즉, 자연계에서 멱함수법칙과 연관된 복잡계 특성을 보이는 임계현상은 평형상태가 아닌 비평형상태에서 비롯되는 경우가 대부분이라는 겁니다.

3. 프랙탈(Fractal) 구조

통계나 그래프, 모델링 과정에서 자주 확인하는 복잡계 특성이 멱함수법칙이라면, 이 멱함수법칙의 특성이 형태적으로나 구조적으로 발현되는 양상이 프랙탈입니다. 앞서 빠르게 냉각되는 과정에서 소금포화용액이 소금을 만들 때도 프랙탈 구조를 보입니다.

그런데, 여기서 정말 주의해야 하는 대목이 있는데, 복잡계과학에서 쓰는 프랙탈이라는 용어와, 일반적인 과학이나 기하학에서 쓰는 프랙탈이라는 용어가 미묘하게 다르다는 점입니다.

원래 프랙탈이라는 말의 뜻을 위키백과로 찾아보면 “일부 작은 조각이 전체의 모양과 비슷한 기하학적 형태”라고 되있습니다. 한마디로 표현하면 “자기유사성(self-similar)”이라고 합니다. 이 뜻만 가지고 생각하면, 복잡계라는 걸 다루면서 “프랙탈”이라는 용어를 쓰면 자기모순이 되버립니다. 복잡계라는 거 자체가 내부의 특정 구조를 파악한다고 해서, 해당 시스템 전체를 파악하는게 결코 불가능한 계(system)를 복잡계라고 하는데, 프랙탈이라는 건 일부 작은 조각을 뜯어서 파악하면 전체의 모양을 예측할 수 있는 환원성을 보이니 어떻게 복잡계에서 프랙탈이라는 용어를 쓸 수 있느냐는 의문이 생기게 됩니다.

기하학에서 전형적인 프랙탈의 한 예가 코흐 곡선(또는 코크 곡선, Koch curve) 입니다. 검색해 보시면, 이런 식의 프랙탈은 매우 규칙적이고, 일부를 파악하면 전체를 파악하는게 가능한 환원주의 특성을 보인다는 걸 짐작할 수 있습니다. 이런 수학이나 기하학에서 다루는 프랙탈 구조는 복잡계에서 다루는 프랙탈구조가 아닙니다.

주식시장이 그렇게 일부 구조가 완벽하게 전체구조를 재현할 수 있다면 그야말로 챠트가지고 100전 100승할 수 있을테고, 아무도 그런 걸 가지고 “주식시장이 복잡계다” 라고 말을 안할테죠. 복잡계과학이 다루는 프랙탈은 일부 구조가 전체 구조를 “비슷하게” 재현하지만, 그 자체로는 전혀 똑같지 않은 구조를 프랙탈이라고 말하고 있습니다.

이런 식으로 복잡계가 보여주는 특성이 형태적으로 반영되는 프랙탈 구조에서는 복잡계의 대표적 특징인 멱함수법칙이 어떻게 확인되는 걸까요? 프랙탈 구조 어디에서든 점을 찍은 후, 해당 점에서 특정 거리 R까지를 반지름으로 하는 원을 그려봅니다. 그렇게 원을 그리고 그 원 안에서 나타나는 프랙탈구조들의 수, 즉 빈도를 N 이라고 한다면, 어느 부위에 점을 찍고, 반지름을 어떻게 그리더라도, 상정하는 반지름 R 과 해당 원 내부에서 관찰할 수 있는 세부구조들의 수 N은 그게 어떤 종류의 프랙탈이든 상관없이 항상 승수구조를 보인다, 즉 멱함수법칙을 따르게 되더라는 겁니다.

그러면, 우리가 보통 복잡계라고들 말하는 주식시장이나, 여러가지 상품거래시장의 시세변동 그래프들도 이런 프랙탈 구조를 보일까요? 그게 정말로 그렇더라는 걸 밝혀낸 학자가 유명한 수학자 브누아 망델브로입니다.

4. 자기조직화 하는 임계현상

복잡계를 다루는 복잡계과학이 처음에 나온게 모래사태 시뮬레이션을 통해 임계현상의 자기조직화를 발견한 세 사람의 과학자의 공헌 때문입니다. 박, 탕, 위젠필드( Per Bak, Chao Tang, Kurt Weisenfield) 세사람이 모래알을 하나씩 떨어뜨리면서 쌓여가는 모래더미가 어떻게 모래사태를 일으키는지를 컴퓨터로 시뮬레이션 해보면서, 모래더미는 모래 한 알만 떨어져도 엄청난 크기의 모래사태를 언제 어디서든 일으킬 수 있는 일종의 임계현상이 지속되더라는 걸 발견한 겁니다.

게다가, 이런 임계현상은 쌓인 모래더미를 절반 이상 제거해도 계속해서 관찰된다는 걸 밝혀냄으로서 유명한 자기조직화(self-organization)이라는 개념을 발표하면서 복잡계과학이 출발하게 되었다고 해도 과언이 아닙니다.

하지만, 이런 임계현상의 자기조직화는 생각만큼 보편적이거나 흔하게 발견되는 현상이 아닙니다. 심지어, 박 탕 위젠필드가 시뮬레이션의 기초로 삼았다는 모래알을 가지고 현실에서 그대로 실험해보면 이런 자기조직화는 커녕 임계현상조차 발생하지 않습니다.

애초에 임계현상이라는 것 자체가 “상전이의 경계”를 전제로 하고 있습니다. 물이 끓기 시작하는 딱 그 순간을 오랫동안 유지하는 건 결코 쉬운게 아닙니다. 철 원자가 정렬되어 자석이 되기 시작하는, 또는 자력을 잃기 시작하는 임계점도 온도를 정확히 맞추어야 하고, 우라늄의 핵분열반응도 임계현상을 보려면 카드뮴 제어봉을 기가막히게 잘 조절을 해야지, 까닥 잘못하면 돌이킬 수 없는 핵분열반응의 폭주로 원자탄처럼 터지게 됩니다.

복잡계과학을 연구하는 학자들이 대게 인정하는 임계현상의 자기조직화 사례들도 관점을 조금만 다르게 본다면, 자기조직화를 인정해야 하는지 의구심을 가질 수 있습니다. 학자들이 임계현상의 자기조직화라고 인정하는 사례들이 산불, 지진, 생태계, 주식시장 같은 걸 듭니다만, 이런 것들도 주의해야 하는게 이런 현상들도 특정한 조건이 되어야만 임계현상의 자기조직화를 관찰할 수 있는겁니다.

예를 들어 산불의 발생 빈도와 강도(숲을 태운 면적) 사이에 승수관계를 보이는 현상도 그렇습니다. 일단, 큰 비가 내려서 숲이 촉촉히 젖어있는 계절에는 아무리 용을 써도 산불의 발생횟수 자체가 절대적으로 줄어들어 있으며, 그 안에서 멱함수법칙에 따른 분포나 어떤 상관관계를 발견하는 건 당연히 불가능합니다. 항상 계절적으로 강우량이 작아 나무들이 말라있는 때가 존재하니까 임계현상도 나타날 수 있고, 그 안에서 인간의 어리석은 교란행위(작은 산불을 계속 막으면서 결과적으로 나무가 빽빽이 들어차고, 오래되어서 불에 잘 타는 나무가 늘어나게 만듬)에도 임계현상이 자기복구되면서 그전까지는 볼 수 없던 거대한 규모의 산불발생을 부추기는 자기조직화 현상도 나타날 수 있는 겁니다.

그렇다면, 수십년간 작은 산불이 나는 걸 계속 진화해왔던 소방관들의 시스템 “교란”이 있기 전의 자연적인 임계현상과, 교란행위가 가해진 후에 더 큰 산불이 나기 쉬워진 상태에서의 달라진 임계현상을 “동일한 임계현상”으로 간주할 것인가, 아니면 외부의 교란에 의해 변화해서 “달라진 임계현상”으로 간주할 것인가에 대해 관점을 어떻게 보느냐에 따라 “자기조직화(self-organiazation)” 라는 개념은 성립이 될 수도 있고 안될 수도 있는 겁니다.

그런 교란행위가 시스템 내부에서 이루어지고 있고, 매우 빈번할 뿐 아니라, 되먹임 고리(feedback loop)의 일부분이라고 한다면, 이러한 교란행위까지 모두 아울러서 하느의 복잡계로 상정하고 임계상황의 자기조직화를 인정할 수 있을겁니다. 이렇게 조건들을 정확하게 적용하다 보면, 자기조직화하는 임계상황을 보여주는 복잡계는 사실 몇개 되지 않습니다.

5. 주식시장

주식시장은 이렇게 임계상황이 자기조직화 되는 복잡계의 가장 전형적인 형태입니다. 이게 정말 중요한 이유가, 주식시장에는 끊임 없이 많은 돈이 계속 들어오고 있을뿐 아니라, 최근에는 경제가 안좋아지고 침체가 우려된다는 소리만 들리면 각국의 정부가 마치 발작이라도 하는것처럼 엄청난 유동성을 인위적으로 퍼붓고 있기 때문입니다. 교란행위의 빈도와 규모가 과거와는 비교할 수 없이 커지고 있습니다.

작은 산불들을 계속 끄다가 산불의 자기조직화에 의해 그전까지 거의 보지 못했던 초대형 산불을 맞딱뜨리게 되었던 과거와 매우 유사한 패턴을 보여주고 있는 겁니다. 프랙탈 구조가 가지고 있는 자기유사성, 멱함수 법칙이 가지고 있는 보편성을 생각해본다면, 주식시장에서 이렇게 인위적인 교란행위에 의해 다시금 재조직화된 임계상황이 보여주는 요동은 그 이전보다 훨씬 더 커질 수 밖에 없습니다.

요동이라는 건 위로도 크게 가지만, 아래로도 크게 간다는 것이고, 그렇게 위로 가거나 아래로 가는 폭이 크고 급하다고 해서, 거기에 무슨 대단하고 특별한 원인이 존재하는 게 아니라는 것도 생각해봐야 합니다.

심지어는 일시적이지만 멱함수법칙이 정의하고 있는 요동의 빈도와 크기의 승수관계마저 깨지게 될 가능성도 배제할 수 없을겁니다. 현실세계에서 모래알로 모래사태 실험을 하면 박 탕 위젠필드가 시뮬레이션 했던 것같은 멱함수법칙이 나타나지 않는다고 아까 언급했었는데, 훨씬 더 많은 빈도로 훨씬 더 강력하고 파괴적인 사태가 발생했기 때문에 멱함수법칙이 성립이 안되었던 겁니다. 모래알의 무게가 무겁고, 표면이 미끄러워 관성에 의해 모래사태가 더 크고 자주 나오게 된거죠.

이와같이 임계상황이라는 건 아무때에나 저절로 생겨나고 지속되는 게 아닙니다. “임계상황의 자기조직화”라는 말이 우리가 무슨 짓을 해도 자연이나 시장이라는 복잡계는 끄덕없이 임계상황을 스스로 유지하고 버텨낼거라는 믿음(이라 쓰고 미신이라 읽는)을 뜻하는 단어가 아니라는 겁니다.

아무리 자기조직화의 특성이 있는 복잡계라고 하더라도, 교란이 도를 넘어서 커지게 되면, 결국 임계상황은 깨지고, 멱함수법칙이 그리는 그래프보다도 훨씬 더 극단적인 모래사태같은 상황으로 돌변하지 말라는 법은 세상에 없는겁니다. 우리는 역사상 한번도 겪어보지 않은 규모의 인위적 유동성 투입이라는 교란행위에 주식시장이 조만간 어떻게 반응할 것인지 아직 결과를 보지 못하고 있습니다.

그러다 보니, 비관론의 극단에서는 결국, 이런 도가 지나친 교란행위에 의해 시장의 자기조직성은 붕괴되고 미증유의 파국이 올거라는 예상을 복잡계과학을 통해 서술하는 책이 있습니다. 그런 책에서는 시장경제가 붕괴하고, 국가권력이 군사력과 경찰력을 동원해서 자산을 동결하고 아무도 예금을 함부로 찾을 수 없게 되는 미래까지 예상하고 있는데, 그런 예상의 근거가 다름아닌 “지나친 교란에 의해 복잡계의 임계상황이 붕괴될 수 있다”는 생각에서 출발한 겁니다.

하지만, 그건 어디까지나 예상일 뿐, 우리는 그것을 미리 알 수 없습니다. 주식시장이 복잡계이기 때문이니까요. 그래서 그런 종말의 묵시록 같은 예측은 논외로 하더라도, 계속해서 공급되왔던 막대한 유동성이 임계현상이 만들어내는 “요동”을 훨씬 더 키울수 있다는 예상만큼은 전혀 어렵지 않습니다.

요동이라는 건 대폭락만 말하는게 아니라 대폭락에 뒤이은 폭풍상승도 동시에 의미하는 말입니다. 그러한 극단적인 상승과 하강이 교란행위가 지금처럼 심하지는 않았던 예전보다 더 크고 자주 일어날 가능성을 상정하고 대비하는 건 굳이 복잡계과학을 전공하지 않더라도 누구나 할 수 있는 일입니다.

이렇게 과거보다 극단적 이벤트가 더 자주 발생할것이라 예상한다면 자산배분에 대해 지금보다 훨씬 더 신경을 쓰는것 만으로도 지금보다 훨씬 나은 수익률을 기대할 수 있다고 생각합니다. 그리고, 현금을 항상 확보해 놓아야 언제 발생할 지 모를 대폭락의 와중에서 크게 저평가된 주식을 쓸어담을 수 있겠죠.

어쨋던 간에, 복잡계라는 말이 주는 신비함 같은 것에 기대어 조금씩 잘못 유통되고 있는 그런 개념들을 좀 더 정확하게 이해하는 것만으로도 제 글이 의미를 가질 수 있었으면 좋겠습니다. 물론, 주식을 하는데 있어 지금까지의 관성을 그대로 가는 것에 대해 돌아보는 계기가 된다면 더 좋겠구요.

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